Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh...

Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Chứng minh các bất đẳng thức sau:. Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao – Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 4

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0          

b) a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

Quảng cáo

\(\eqalign{
& a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c – 2\sqrt {ab} – 2\sqrt {bc} – 2\sqrt {ca} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a – 2\sqrt {ab} + b) + (b – 2\sqrt {bc} + c) \cr&\;\;\;\;\;\;+ (c – 2\sqrt {ac} + a) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(\sqrt a – \sqrt b )^2} + {(\sqrt b – \sqrt c )^2} + {(\sqrt c – \sqrt a )^2} \ge 0 \cr} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b) Ta có:

a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c)

⇔ 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 ≥ 2abc(a + b +c)

⇔ (a2b2 – 2a2bc+ a2c2) + (a2c2 – 2c2ab +b2c2) +(a2b2 – 2b2ac +b2c2) ≥ 0

⇔  (ab – ac)2 + (ac – bc)2 + (ab – bc)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0

Quảng cáo