Bài 6 trang 84 sgk hình học 10: Bài 2. Phương trình đường tròn...

Bài 6. Cho đường tròn $(C)$ có phương trình:

            ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

a)     Tìm tọa độ tâm và bán kính của $(C)$

b)    Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ đi qua điểm $A(-1; 0)$

c)     Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ vuông góc với đường thẳng  $3x – 4y + 5 = 0$

a)   ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2} = 25$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}$

 Tâm $I(2 ; -4)$, bán kính $R = 5$

b)  

Thay tọa độ $A(-1 ; 0)$ vào vế trái, ta có :

$(-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25$

Vậy $A(-1 ;0)$ là điểm thuộc đường tròn.

$\overrightarrow {IA} ( - 3;4)$

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $A$ là:

$-3(x +1) +4(y -0) =0   \Leftrightarrow   3x - 4y + 3 = 0$

c) 

 Đường thẳng  $3x – 4y + 5 = 0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n(3;-4)$

Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  $3x – 4y + 5 = 0$ nên tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow {n’}(4;3)$ 

Phương trình tiếp tuyến có dạng là: $4x+3y+c=0$

Khoảng cách từ tâm $I$ đến tiếp tuyến bằng bán kính $R=5$ do đó ta có:

${{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Leftrightarrow |c - 4| = 25$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ c - 4 = 25 \hfill \cr c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = 29 \hfill \cr c = - 21 \hfill \cr} \right.$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$4x+3y+29=0$ và $4x+3y-21=0$.