Bài 9 trang 59 sgk hình học 10: Bài 3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác...

Bài 9. Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = a, BC = b ,BD = m$, và $AC = n$. Chứng minh rằng :

$${m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$$

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

$OA^2 =\frac{AD^{2}+AB ^{2}}{2} - \frac{BD^{2}}{4}$

Thay $OA = \frac{n}{2}, AB = a$

$AD = BC = b$ và $BD = m$

${\left( {{n \over 2}} \right)^2} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{m^2}} \over 4} \Rightarrow {n^2} = 2{b^2} + 2{a^2} - {m^2}$

$\Rightarrow {m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$