Câu 4 trang 93 SGK Hình học 10: Ôn tập Chương III - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng...

Bài 4. Cho đường thẳng $Δ: x – y + 2$ và hai điểm $O(0; 0); A(2; 0)$

a) Tìm điểm đối xứng của $O$ qua $Δ$

b) Tìm điểm $M$ trên $Δ$ sao cho độ dài đường gấp khúc $OMA$ ngắn nhất.

a) Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $Δ, H$ là giao điểm của đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $Δ$.

$\overline {OH}  = (x;y)$

$Δ: x – y + 2 = 0$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u (1;1)$

 $\overrightarrow {OH}  \bot \Delta  \Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0$

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ x + y = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H( - 1;1)$

Gọi $O’$ là đỉnh đối xứng của $O$ qua $Δ$ thì $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $OO’$

$\eqalign{ & {x_H} = {{{x_O} + {x_{O’}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O’}}} \over 2} \Rightarrow {x_{O’}} = - 2 \cr & {y_H} = {{{y_O} + {y_{O’}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O’}}} \over 2} \Rightarrow {y_{O’}} = 2 \cr}$

Vậy $O’(-2;2)$.

b) Nối $O’A$ cắt $Δ$ tại $M$

Ta có: $OM = O’M$

$⇒ OM + MA = O’M + MA = O’A$

Giả sử trên $Δ$ có một điểm $M’ ≠ M$, ta có ngay:

$OM’ +M’A > O’A$

Vậy điểm $M$, giao điểm của $O’A$ với $Δ$, chính là điểm thuộc $Δ$ mà độ dài của đường gấp khúc $OMA$ ngắn nhất.

$A(2; 0); O(-2; 2)$ nên $O’A$ có hệ phương trình: $x + 2y – 2 = 0$

Tọa độ của điểm $M$ là nghiệm của hệ:

$\left\{ \matrix{ x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M( - {2 \over 3},{4 \over 3})$