Bài 8. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:
a) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\)
b) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\)
c) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)
Theo hệ quả định lí cosin: \({\mathop{\rm cosA}\nolimits} = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc}}\). Khi đó:
a) \({a^2} < {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} > 0 \Leftrightarrow \cos A > 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Mặt khác theo định nghĩa cosin ta thấy \(\cos A > 0\) khi và chỉ khi \(A\) là góc nhọn.
Vậy góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\)
b) \({a^2} > {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} < 0 \Leftrightarrow \cos A < 0\)
Mặt khác theo định nghĩa cosin ta thấy \(\cos A < 0\) khi và chỉ khi \(A\) là góc tù.
Vậy góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\)
c) Theo định lí Py-ta-go thì: \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow \) góc \(A\) là góc vuông.