Lý thuyết đại cương về phương trình: Bài 1. Đại cương về phương trình...

Lý thuyết về đại cương về phương trình

Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình một ẩn

+ Phương trình một ẩn số $x$ là mệnh đề chứa biến có dạng:

$f(x) = g(x)$     (1)

trong đó $f(x), g(x)$ là các biểu thức cùng biến số $x$. Ta gọi $f(x)$ là vế trái, $g(x)$ là vế phải của phương trình.

+ Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

+ Nếu có số $x_0$ thỏa mãn ĐKXĐ và $f(x_0)= g(x_0)$ là mệnh đề đúng thì ta nói số $x_0$ nghiệm đúng phương trình (1) hay $x_0$ là một nghiệm của phương trình (1). Một phương trình có thể có nghiệm, có thể vô nghiệm. Ví dụ: $2$ là một nghiệm của phương trình: $2 = 3x - x^2$

2. Phương trình trương đương

Hai phương trình 

${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ (1)

${f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)$ (2)

đươc gọi là tương đương, kí hiệu ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)⇔ {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)$ nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau.

Định lí:

a) Nếu $h(x)$ là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình $f(x) = g(x)$ thì 

$f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) = g(x)$

b) Nếu $h(x)$ thỏa mãn ĐKXĐ và khác $0$ với mọi $x$ thỏa mãn ĐKXĐ thì 

$f(x).h(x) = g(x).h(x)  ⇔ f(x) = g(x)$

$\frac{f(x)}{h(x)}=\frac{g(x)}{h(x)}  ⇔ f(x) = g(x)$.

3. Phương trình hệ quả

Phương trình ${f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)$ là phương trình hệ quả của phương trình ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$, kí hiệu 

${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ $\Leftrightarrow$${f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)$
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.

Ví dụ: $2x = 3 - x \Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0$