Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 - Cánh diều: Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?...

Trên một mảnh đất hình vuông $ABCD$, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí $A$ chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc $C$. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia $AM$ và $AN$, ở đó các điểm $M$, $N$ lần lượt thuộc các cạnh $BC$, $CD$ sao cho $BM = \frac{1}{2}BC$, $DN = \frac{1}{3}DC$ (xem hình vẽ).

a) Tính $\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right)$.

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

a) Sử dụng công thức $\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}$ và công thức tan của góc nhọn trong tam giác vuông.

b) Góc chiếu sáng cần tìm là $\widehat {MAN}$. Sử dụng kết quả câu a để tính $\widehat {BAM} + \widehat {DAN}$, từ đó tính được góc $\widehat {MAN}$.

Xét tam giác vuông $AMB$, ta có $\tan \widehat {BAM} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}$.

Xét tam giác vuông $AND$, ta có $\tan \widehat {DAN} = \frac{{ND}}{{AD}} = \frac{{ND}}{{CD}} = \frac{1}{3}$.

Ta có:

$\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAM} + \tan \widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM}\tan \widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}}} = 1$.

b) Góc chiếu sáng cần tìm là $\widehat {MAN}$.

Do $\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = 1$, nên $\widehat {BAM} + \widehat {DAN} = {45^o}$.

Suy ra $\widehat {MAN} = {90^o} - {45^o} = {45^o}$