Bài 6 trang 10 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho lục giác đều $ABCDEF$nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ $A$ đến các đỉnh theo...

Cho lục giác đều $ABCDEF$nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ $A$ đến các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Tính số đo của các góc lượng giác $\left( {OA,OB} \right)$, $\left( {OA,OC} \right)$, $\left( {OA,OD} \right)$, $\left( {OA,OE} \right)$, $\left( {OA,OF} \right)$.

Do lục giác đều $ABCDEF$ nội tiếp trong đường tròn lượng giác tâm $O$, nên ta có 6 góc bằng nhau: $\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOA} = {60^o} = \frac{\pi }{3}$

Sử dụng hệ thức Chasles để tính số đo của các góc lượng giác $\left( {OA,OB} \right)$,$\left( {OA,OC} \right)$, $\left( {OA,OD} \right)$, $\left( {OA,OE} \right)$, $\left( {OA,OF} \right)$

Vì lục giác đều $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn lượng giác tâm $O$, nên ta có 6 góc bằng nhau: $\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOA} = {60^o} = \frac{\pi }{3}$

Do $\widehat {AOB} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \left( {OA,OB} \right) = \frac{\pi }{3} + k2\pi$.

Áp dụng hệ thức Chasles, ta có:

$\left( {OA,OC} \right) = \left( {OA,OB} \right) + \left( {OB,OC} \right) + k2\pi = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$

$\left( {OA,OD} \right) = \left( {OA,OC} \right) + \left( {OC,OD} \right) + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi = \pi + k2\pi$

$\left( {OA,OE} \right) = \left( {OA,OD} \right) + \left( {OD,OE} \right) + k2\pi = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$

$\left( {OA,OF} \right) = \left( {OA,OE} \right) + \left( {OE,OF} \right) + k2\pi = - \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi = - \frac{\pi }{3} + k2\pi$