Bài 7 trang 10 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ với $\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$. Tính $\cos \alpha$, $\tan \alpha$...

Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ với $\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$. Tính $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$.

Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và điều kiện $\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$ để tính $\cos \alpha$.

Sử dụng công thức $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$, $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}$ để tính $\tan \alpha$, $\cot \alpha$.

Do ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Vì \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha

Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$, $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{ - \sqrt 2 }}{4} = - 2\sqrt 2$.