Bài 5.49 trang 90 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x}$. Dùng nguyên lý kẹp, chứng minh \(|f({x_n})|\, \, \le \, \, |{x_n}|\, \...

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x}$.

Dùng nguyên lý kẹp, chứng minh $|f({x_n})|\,\, \le \,\,|{x_n}|\,\, \to 0$ từ đó suy ra giới hạn này tiến tới 0.

Đặt $f(x) = x\sin \frac{1}{x}$. Lấy dãy số $({x_n})$ bất kì thỏa mãn ${x_n} \to 0$.

Khi đó $|f({x_n})|\,\, = \,\,|{x_n}|.\left| {\sin \frac{1}{{{x_n}}}} \right| \le \,\,|{x_n}|\,\, \to 0$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f({x_n}) = 0$.