Bài 5.51 trang 90 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}\, \, {\rm{khi}}\, \, x \ne 0\\2\, \, \, {\rm{khi}}\, \, x = 0\end{array} \right.$ Chứng minh rằng...

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ne 0\\2\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 0\end{array} \right.$

a) Chứng minh rằng \(f( - 1).f(1)

b) Chứng minh rằng phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm thuộc khoảng $( - 1;1)$.

c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[ - 1;1]$.

Tính \(f( - 1),\,f(1) \Rightarrow f( - 1).f(1)

Giải phương trình $f(x) = 0$ suy ra phương trình không có nghiệm thuộc khoảng $( - 1;1)$.

Tính giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại 0 để kết luận về tính liên tục của hàm số.

a) \(f( - 1).f(1) = \frac{1}{{ - 1}}.\frac{1}{1} = - 1

b) Ta thấy $f(0) = 2$ và $f(x) = \frac{1}{x} \ne 0\forall x \in ( - 1;1)$ nên phương trình không có nghiệm thuộc khoảng này.

c) Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty$ nên hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0.$