Bài 6.14 trang 10 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Đặt \(a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5, b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}5\). Hãy biểu diễn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{15}}10\) theo a và \(b\)...

Đặt \(a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5,b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}5\). Hãy biểu diễn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{15}}10\) theo a và \(b\).

Phân tích \(48\) theo thừa số nguyên tố rồi áp dụng quy tắc tính logarit,đổi cơ số của lôgarit\({\log _a}M = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}\),\({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

Giả sử a là số thực dương khác \(1,\,M\) và \(N\)là các số thực dương, \(\alpha \) là số thực tuỳ ý.

\(\begin{array}{l}{\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N;\\{\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N;\\{\log _a}{M^a} = \alpha {\log _a}M.\end{array}\)

Ta có:

\(b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}5 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{2^2}}}5 = \frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5 \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5 = 2b\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{15}}10 = \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}10}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}15}} = \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {2 \cdot 5} \right)}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {3 \cdot 5} \right)}} = \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}2 + 1}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3 + 1}}\)

Mà \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3 = \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5}} = \frac{1}{a}\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}2 = \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}} = \frac{1}{{2b}}\)

nên \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{15}}10 = \frac{{\frac{1}{{2b}} + 1}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{\left( {1 + 2b} \right)a}}{{2b\left( {a + 1} \right)}}\)