Bài 6.15 trang 10 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tìm ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32$, biết ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}14 = a$...

Tìm ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32$, biết ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}14 = a$.

Phân tích $48$ theo thừa số nguyên tố rồi áp dụng quy tắc tính logarit,đổi cơ số của lôgarit${\log _a}M = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}$,${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$

Giả sử a là số thực dương khác $1,\,M$ và $N$ là các số thực dương, $\alpha$ là số thực tuỳ ý.

$\begin{array}{l}{\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N;\\{\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N;\\{\log _a}{M^a} = \alpha {\log _a}M.\end{array}$

Ta có: ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}{2^5} = 5{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}2 = \frac{5}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}49}} = \frac{5}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{7^2}}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}7}}$

Do ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}14 = a$ nên $a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {7 \cdot 2} \right) = 1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}7 \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}7 = a - 1$.

Suy ra ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{{a - 1}}$