Bài 6.23 trang 14 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hàm số mũ $f\left( x \right) = {a^x}(a > 0)$. Chứng minh rằng...

Cho hàm số mũ $f\left( x \right) = {a^x}(a > 0)$. Chứng minh rằng:

a) $\frac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} = a$;

b) $f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}$

c) $f\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right)$.

Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Với $a$ là số thực dương ta có: ${a^0} = 1;{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$.

Với $a > 0,b > 0$ và $m,n$ là các số thực, ta có:

${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$; $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$;

${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}};$ ${\left( {ab} \right)^m} = {a^m}{b^m}$;

${\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}$

${\rm{a)\;}}\frac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{{a^{x + 1}}}}{{{a^x}}} = a{\rm{;\;}}$

${\rm{b)\;}}f\left( { - x} \right) = {a^{ - x}} = \frac{1}{{{a^x}}} = \frac{1}{{f\left( x \right)}}$

${\rm{c)\;}}f\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {a^{{x_1} + {x_2}}} = {a^{{x_1}}} \cdot {a^{{x_2}}} = f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right)$