Bài 6.26 trang 14 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Ta định nghĩa các hàṃ sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau...

Ta định nghĩa các hàṃ sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau: ${\rm{sinh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right);{\rm{cosh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)$

Chứng minh rằng:

a) ${\rm{sinh}}x$ là hàm số lẻ:;

b) ${\rm{cosh}}x$ là hàm số chẵn;

c) ${({\rm{cosh}}x)^2} - {({\rm{sinh}}x)^2} = 1$ với mọi $x$.

Áp dụng định nghĩa hàm lẻ, hàm chẵn

Hàm số $y = f(x)$ có tập xác định $D$

Hàm số $y = f(x)$ là hàm số lẻ trên $D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.$

Hàm số $y = f(x)$ là hàm số chẵn trên $D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.$

a) Hàm số $f\left( x \right) = {\rm{sinh}}x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$

Ta có $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f\left( x \right) = {\rm{sinh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right) \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ - x}} - {e^x}} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}$.

Do đó, sinh$x$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số $g\left( x \right) = {\rm{cosh}}x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$

Ta có $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$g\left( x \right) = {\rm{cosh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \Rightarrow g\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ - x}} + {e^x}} \right) = g\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}$.

Do đó, ${\rm{cosh}}x$ là hàm số chẵn.

c) Ta có: ${({\rm{cosh}}x)^2} - {({\rm{sinh}}x)^2} = \frac{1}{4}{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)^2} - \frac{1}{4}{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)^2} = \frac{1}{4} \cdot 2{e^{ - x}} \cdot 2{e^x} = 1$.