Bài 7.11 trang 28 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Chỉ ra $BC \bot SA, BC \bot AH$ nên $BC \bot \left( {SAH} \right)$...

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABC$ và $SBC$. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {SAH} \right)$ và các đường thẳng $AH,BC,SK$ đồng quy;

b) $SB \bot \left( {CHK} \right)$ và $HK \bot \left( {SBC} \right)$.

a) Chỉ ra $BC \bot SA,BC \bot AH$ nên $BC \bot \left( {SAH} \right)$.

Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $BC$

Chứng minh $BC \bot AH,BC \bot SM$ suy ra $S,K,M$ thẳng hàng

Do đó, $SK,AH,BC$ đồng quy tại $M$.

b) Chỉ ra $CH \bot SB$, $SB \bot CK$ rồi suy ra $SB \bot \left( {CHK} \right)$.

Từ đó ta có $SB \bot HK$, tương tự, ta chứng minh được $SC \bot \left( {BHK} \right)$, suy ra $SC \bot HK$. Do đó $HK \bot \left( {SBC} \right)$.

a) Chỉ ra $BC \bot SA,BC \bot AH$ nên $BC \bot \left( {SAH} \right)$.

Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $BC$$CH \bot AB$

Ta có: $BC \bot \left( {SAM} \right)$, suy ra $BC \bot SM$, mà $K$ là trực tâm của tam giác $SBC$ nên $SM$ đi qua $K$.

Do đó, $SK,AH,BC$ đồng quy tại $M$.

b)

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot CH$, mà , suy ra $CH \bot \left( {SAB} \right)$.

Do đó $CH \bot SB$, lại có $SB \bot CK$ nên $SB \bot \left( {CHK} \right)$.

Từ đó ta có $SB \bot HK$, tương tự, ta chứng minh được $SC \bot \left( {BHK} \right)$, suy ra $SC \bot HK$. Do đó $HK \bot \left( {SBC} \right)$.