Cho tứ diện \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng \(a\). Tính côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(BCD\).
Phương pháp chung
Để xác định góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm giao điểm \(O = a \cap \left( \alpha \right)\)
- Dựng hình chiếu \(A’\) của một điểm \(A \in a\) xuống \(\left( \alpha \right)\)
- Góc \(\widehat {AOA’} = \varphi \) chính là góc giữa đường thẳng \(a\) và \(\left( \alpha \right)\).
Gợi ý phương pháp giải
Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) tại \(H\),
Xác định hình chiếu của \(AB\) trên \(\left( {BCD} \right)\) là \(BH\)
Tính góc \(\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}\) rồi kết luận
Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) tại \(H\), ta có \(BH\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(BH\), mà \(\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}\).
Vì \(AB = AC = AD\) nên \(HB = HC = HD\), hay \(H\) là tâm của tam giác\(BCD\), suy ra\(BH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Từ đó ta tính được: \(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).