Bài 7.16 trang 31 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a và $AA’ = a\sqrt 2$...

Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a và $AA’ = a\sqrt 2$, hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $\left( {A’B’C’D’} \right)$ trùng với trung điểm của $B’D’$. Tính góc giữa đường thẳng $AA’$ và mặt phẳng $\left( {A’B’C’D’} \right)$.

Gọi $O$ là giao điểm của $A’C’$ và $B’D’$

Xác định hình chiếu vuông góc của $AA’$ trên mặt phẳng $\left( {A’B’CD’} \right)$

Tính góc giữa đường thẳng $AA’$ và hình chiếu của nó rồi kết luận

Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông để tính góc

Gọi $O$ là giao điểm của $A’C’$ và $B’D’$.

Ta có: $A’O$ là hình chiếu vuông góc của $AA’$ trên mặt phẳng $\left( {A’B’CD’} \right)$, góc giữa đường thẳng $AA’$ và mặt phẳng $\left( {A’B’C’D’} \right)$ bằng góc giữa $AA’$ và $A’O$.

Mà $\left( {AA’,A’O} \right) = \widehat {AA’O}$, ta lại có $A’O = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó ${\rm{cos}}\widehat {AA’O} = \frac{{OA’}}{{AA’}} = \frac{1}{2}$,

Suy ra $\widehat {AA’O} = {60^ \circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $AA’$ và mặt phẳng $\left( {A’B’C’D’} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.