Cho hình hộp \(ABCD \cdot A’B’C’D’\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a và \(AA’ = a\sqrt 2 \), hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A’B’C’D’} \right)\) trùng với trung điểm của \(B’D’\). Tính góc giữa đường thẳng \(AA’\) và mặt phẳng \(\left( {A’B’C’D’} \right)\).
Gọi \(O\) là giao điểm của \(A’C’\) và \(B’D’\)
Xác định hình chiếu vuông góc của \(AA’\) trên mặt phẳng \(\left( {A’B’CD’} \right)\)
Tính góc giữa đường thẳng \(AA’\) và hình chiếu của nó rồi kết luận
Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông để tính góc
Gọi \(O\) là giao điểm của \(A’C’\) và \(B’D’\).
Ta có: \(A’O\) là hình chiếu vuông góc của \(AA’\) trên mặt phẳng \(\left( {A’B’CD’} \right)\), góc giữa đường thẳng \(AA’\) và mặt phẳng \(\left( {A’B’C’D’} \right)\) bằng góc giữa \(AA’\) và \(A’O\).
Mà \(\left( {AA’,A’O} \right) = \widehat {AA’O}\), ta lại có \(A’O = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó \({\rm{cos}}\widehat {AA’O} = \frac{{OA’}}{{AA’}} = \frac{1}{2}\),
Suy ra \(\widehat {AA’O} = {60^ \circ }\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(AA’\) và mặt phẳng \(\left( {A’B’C’D’} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).