Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và các cạnh đều bằng ${\rm{a}}$...

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và các cạnh đều bằng ${\rm{a}}$.

a) Chứng minh rằng $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Tính góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$ và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $OM$ và mặt phẳng$\left( {SBC} \right)$. Tính ${\rm{sin}}\alpha$.

a) Chứng minh $SO$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên $ABCD$ rồi suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Chứng minh $AO \bot \left( {SBD} \right)$

Tìm hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, do đó góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SA$ và hình chiếu của nó

c) Kẻ $OK \bot BC$ tại $K,OH \bot SK$ tại $H$ thì ta chứng minh $OH \bot \left( {SBC} \right)$,

Tìm hình chiếu vuông góc của $OM$ trên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$,

Góc giữa đường thẳng $OM$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $OM$ và hình chiếu của nó

Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông để tính góc

a) Ta có: $SO \bot AC$; $SO \bot BD$ nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Vì $AO \bot \left( {SBD} \right)$ nên $SO$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, do đó góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $SO$. Mà $\left( {SA,SO} \right) = \widehat {ASO}$ nên góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng góc $\widehat {ASO}$. Xét tam giác $SAC$ có

$S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}$ và $SA = SC$ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$, suy ra $\widehat {ASO} = {45^ \circ }$. Vậy góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng ${45^ \circ }$.

c) Kẻ $OK \bot BC$ tại $K,OH \bot SK$ tại $H$ thì ta chứng minh được $OH \bot \left( {SBC} \right)$,

suy ra HM là hình chiếu vuông góc của $OM$ trên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$,

do đó góc giữa đường thẳng $OM$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $OM$ và $MH$,

mà $\left( {OM,MH} \right) = \widehat {OMH}$ nên góc giữa đường thẳng $OM$ và mặt phẳng (SBC) bằng góc ${\rm{OMH}}$ hay $\widehat {{\rm{OMH}}}$. Ta có: $OM = \frac{a}{2},OK = \frac{a}{2},SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Tam giác SOK vuông tại $O$, đường cao ${\rm{OH}}$ nên ${\rm{OH}} = \frac{{{\rm{SO}} \cdot {\rm{OK}}}}{{SK}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$.

Vì tam giác $OMH$ vuông tại $H$ nên ${\rm{sin}}\alpha = {\rm{sin}}\widehat {OMH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.