Bài 7.28 trang 38 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp $S. ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$...

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = 2a$

Tính theo $a$ khoảng cách

a) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

b) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

c) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

a) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là $H$

Bước 2: Tính $BH$.

a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là $K$

Bước 2: Tính $AK$.

c) Tính khoảng cách từ giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Bước 1: Dựng mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ chứa $SC$ và song song với $AB$

Dựng hình bình hành $ABCD$ thì $AB//\left( {SCD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ chứa $SC$ nên $d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right)$. Mà $d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$

Bước 2: Tính $d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$.

Kết luận $d\left( {AB,SC} \right)$.

a) Kẻ $BH \bot AC$ tại $H$, mà $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BH$, suy ra $BH \bot \left( {SAC} \right)$.

Do đó, $d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

b) Kẻ $AM \bot BC$ tại $M$ và $AK \bot SM$ tại $K$ thì $AK \bot \left( {SBC} \right)$, suy ra $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AK$.

Ta có: $\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AK = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{3}{{19}}}$. Nên $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{3}{{19}}}$.

c) Dựng hình bình hành $ABCD$ thì $AB\parallel \left( {SCD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ chứa $SC$ nên$d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right)$.

Mà $d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$, tính tương tự câu b) ta được

$d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{3}{{19}}}$. Vậy $d\left( {AB,SC} \right) = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{3}{{19}}}$.