Bài 7.34 trang 41 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho khối chóp đều $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$...

Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, góc giữa mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $60^\circ$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $S = \frac{1}{3}Bh$.

Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy

$h$là đường cao của hình chóp

Bước 1: Xác định chiều cao $SO$

Bước 2: Tính diện tích đáy

Bước 3: Tính thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}$.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, ta có $SO$ vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Kẻ $OM$ vuông góc với $CD$ tại $M$ thì $SM$ cũng vuông góc với $CD$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $OM$, mà $\left( {SM,OM} \right) = \widehat {SMO} = 60^\circ$. Ta có: $OM = \frac{a}{2};$$SO = OM \cdot {\rm{tan}}\widehat {SMO} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$. Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.