Bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau...

Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ đến mặt phẳng$\left( {ABC} \right)$. Chứng minh rằng:

a)$BC \bot \left( {OAH} \right)$;

b) $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$;

c) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

• Áp dụng định lý sau

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng

một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

+ $\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\b \subset \alpha \end{array} \right. \Rightarrow a \bot b$

• Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

a) Chứng minh $OA \bot BC$, $OH \bot BC$.

b) Chứng minh $BC \bot AH$, $CA \bot BH$ suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

c) + Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$,

+ Chứng minh $OK$ là đường cao của tam giác vuông $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác vuông $OAK$.

+ Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông $OBC$ và $OAK$

a) Vì $OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)$, suy ra. $OA \bot BC$

Vì $OH \bot \left( {ABC} \right)$ nên$OH \bot BC$,suy ra$BC \bot \left( {OAH} \right)$.

b) Vì $BC \bot \left( {OAH} \right)$ nên $BC \bot AH$.

Tương tự, $CA \bot BH$, do đó $H$ là trực tâm của tam giác$ABC$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$,

Ta có: $OK \bot BC$ và $OA \bot OK$ nên $OK$ là đường cao của tam giác vuông $OBC$ và là đường cao của tam giác vuông $OAK$.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông $OBC$ và$OAK$, ta có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}$ và $\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Từ đó suy ra: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.