Câu 1.23 trang 10 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao       ...

Tính giá trị gần đúng (chính xác đến hàng phần trăm) nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:

a) $\sin \left( {2x + {\pi  \over 6}} \right) = {2 \over 5}$ trong khoảng $\left( { - {\pi  \over 3};{\pi  \over 6}} \right)$

b) $\cos {x \over 2} = {{\sqrt 2 } \over 3}$ trong khoảng $\left( {2\pi ;4\pi } \right)$

c) $\tan {{3x - \pi } \over 5} =  - 3$ với $- {\pi  \over 2} < x < {{7\pi } \over 6}$

Giải       

a) Nếu đặt $y = 2x + {\pi  \over 6}$ thì $- {\pi  \over 3} < x < {\pi  \over 6} \Leftrightarrow  - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}$ và ta có phương trình (với ẩn y) $\sin y = {2 \over 5}.$ Ta biết rằng với điều kiện $- {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2},$ phương trình này có một nghiệm suy nhất là $y = \arcsin {2 \over 5}.$ Vậy với điều kiện $- {\pi  \over 3} < x < {\pi  \over 6},$ phương trình đã cho tương đương với phương trình $2x + {\pi  \over 6} = \arcsin {2 \over 5},$ và do đó nó cũng có một nghiệm duy nhất là $x = {1 \over 2}\left( {\arcsin {2 \over 5} - {\pi  \over 6}} \right)$

Lấy giá trị gần đúng $\arcsin {2 \over 5} \approx 0,412$ và ${\pi  \over 6} \approx 0,524,$ ta được $x \approx  - 0,06.$

(Chú ý: Muốn tính gần đúng kết quả cuối cùng chính xác đến hàng phần trăm thì trong kết quả trung gian phải tính chính xác đến hàng phần nghìn).

b) Nếu đặt $y = {x \over 2}$ thì $2\pi  < x < 4\pi  \Leftrightarrow \pi  < y < 2\pi$ và ta có phương trình $\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.$ Do $0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1$ nên phương trình $\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}$ có duy nhất một nghiệm $y = \alpha$ thuộc khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right)$ (có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác). Vậy trong khoảng $\left( {2\pi ;4\pi } \right),$ phương trình đã cho tương đương với phương trình ${x \over 2} = \alpha ,$ và do đó có một nghiệm duy nhất $x = 2\alpha .$ Để tính giá trị gần đúng của $\alpha ,$ ta làm như sau:

Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số $\beta$ thỏa mãn $0 < \beta  < \pi$ và $\cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3}$. (cụ thể là $\beta  = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080$). Khi đó, dễ thấy $2\pi  - \beta$ thỏa mãn $\pi  < 2\pi  - \beta  < 2\pi$ và $\cos \left( {\pi  - \beta } \right) = \cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3},$ nghĩa là $\alpha  = 2\pi  - \beta .$ Vì $\beta  \approx 1,080$ nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là $x = 2\alpha  \approx 10,41.$

c) Đặt $y = {{3x - \pi } \over 5}.$ Khi đó $- {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}$ và phương trình đã cho có dạng $\tan y =  - 3.$ Với điều kiện $- {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}$, phương trình này có một nghiệm duy nhất $y = \arctan \left( { - 3} \right).$ Vì vậy ${{3x - \pi } \over 5} = \arctan \left( { - 3} \right) \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)$ nên $x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)$ cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện $- {\pi  \over 2} < y < {{7\pi } \over 6}$

Lấy giá trị gần đúng $\arctan \left( { - 3} \right) \approx  - 1,249$ , ta được $x \approx  - 1,03$