Advertisements (Quảng cáo)
Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình
\({\sin ^3}x + \sin x\sin 2 x – 3{\cos ^3}x = 0\)
Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
Giải
Giả sử một góc của tam giác vuông ABC có số đo độ thỏa mãn phương trình đã cho . Ta viết phương trình đã cho thành
\({\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x\cos x – 3{\cos ^3}x = 0\) (1)
\(({0^o} < x \le {90^o})\)
Advertisements (Quảng cáo)
Dễ thấy \(x = {90^o}\) không phải nghiệm của phương trình , vậy \(\cos x \ne 0\) và ta có thể chia 2 vế phương trình cho \({\cos ^3}x\) được :
(1)\( \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 2\tan x – 3 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {\tan x – 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + 3\tan x + 3} \right) = 0\)
Vì phương trình \({\tan ^2}x + 3\tan x + 3 = 0\) vô ngiệm , nên (1)\( \Leftrightarrow \tan x = 1\) . Kết hợp với điều kiện \({0^o} < x < {90^o}\) ta thấy chỉ có \(x = {45^o}\) là thỏa mãn. Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân.