Câu 21 trang 118 SBT Toán hình 11 nâng cao: hay IK = IJ...

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, AD, BD. Hãy tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:

a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo $IH = \sqrt 3 IJ$.

b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng IJ và IK, đó là góc $\widehat {JIK}$ hoặc ${180^0} - \widehat {JIK}$.

a) Vì hình tứ giác IJHK là hình thoi mà $IH = \sqrt 3 IJ$, nên từ $I{K^2} + I{H^2} = 4I{J^2}$.

ta có: $I{K^2} = I{J^2}$

hay IK = IJ

Như vậy JIK là tam giác đều, do đó $\widehat {JIK} = {60^0}$.

Vậy góc giữa AB và CD trong trường hợp này bằng 60°.

b) Khi tứ giác IJHK là hình chữ nhật thì $\widehat {JIK} = {90^0}$. Do đó, góc giữa AB và CD bằng 90°.