Advertisements (Quảng cáo)
Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương \({x_1},{x_2},..{x_n}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1}{x_2}…{x_n} = 1\). Chứng minh rằng \({x_1} + {x_2} + … + {x_n} \ge n.\)
Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)
Với \(n = 1,\) theo giả thiết bài toán ta có \({x_1} = 1.\) Vì thế, ta có (1) đúng khi \(n = 1.\)
Với \(n = 2,\) xét hai số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện
\({x_1}{x_2} = 1.\) (2)
Hiển nhiên, trong hai số \({x_1},{x_2}\) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử \({x_1} \le 1\) và \({x_2} \ge 1.\) Khi đó, ta có
\(\left( {1 – {x_1}} \right)\left( {{x_2} – 1} \right) \ge 0\)
Suy ra \({x_1} + {x_2} \ge 1 + {x_1}{x_2} \ge 2\) (do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi \(n = 2\)
Giả sử có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) tức là giả sử với k số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2},..{x_k}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1},{x_2},..{x_k}\) ta luôn có
\({x_1} + {x_2} + … + {x_k} \ge k\)
Advertisements (Quảng cáo)
Xét \(k + 1\) số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2},..{x_{k – 1}},{x_k}{x_{k + 1}}\) có tích bằng 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có
\({x_1} + {x_2} + … + {x_{k – 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} \ge k\) (3)
Hơn nữa, dễ thấy trong \(k + 1\) số \({x_1},{x_2},..{x_{k – 1}},{x_k}{x_{k + 1}}\) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử \({x_k} \le 1\) và \({x_{k + 1}} \ge 1.\) Khi đó ta có
\(\left( {1 – {x_k}} \right)\left( {{x_{k +1}} – 1} \right) \ge 0\) hay \({x_k} + {x_{k + 1}} \ge 1 + {x_k}{x_{k + 1}}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra
\({x_1} + {x_2} + … + {x_{k – 1}} + {x_k} + {x_{k + 1}} \ge \)
\({x_1} + {x_2} + … + {x_{k – 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} + 1 \ge k + 1\)
Như thế, ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)
Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với n là một số nguyên dương tùy ý.