Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 32 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao...

Câu 32 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao :...

Chia sẻ
Câu 32 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Ta có:. Bài 2 3 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và \(DA \bot mp\left( {ABC} \right),AB = AC = a,BC = {6 \over 5}a\). Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH vuông góc với MD (H thuộc đường thẳng MD).

a) Chứng minh rằng \(AH \bot mp\left( {BC{\rm{D}}} \right)\).

b) Cho \(A{\rm{D}} = {4 \over 5}a\). Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.

c) Gọi G1, G2 lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng \({G_1}{G_2} \bot mp\left( {ABC} \right)\).

 

a) Vì M là  trung điểm của BC nên \(AM \bot BC\), mặt khác \(DA \bot \left( {ABC} \right)\) nên BC vuông góc với mp(DAM), từ đó \(BC \bot AH\).

Mà \(DM \bot AH\).

Vậy \(AH \bot mp\left( {DBC} \right)\).

Quảng cáo

b) Kẻ MN song song với AC (N ∈ AB) thì góc giữa DM và AC bằng góc giữa DM và MN, đó là \(\widehat {DMN}\) hoặc \({180^0} – \widehat {DMN}\).

Ta có:

\(\eqalign{  & MN = {1 \over 2}AC = {a \over 2},AN = {a \over 2}.  \cr  & D{N^2} = D{A^2} + A{N^2} = {{16} \over {25}}{a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{89} \over {100}}{a^2}  \cr  & A{M^2} = A{B^2} – B{M^2} = {a^2} – {{9{{\rm{a}}^2}} \over {25}} = {{16{{\rm{a}}^2}} \over {25}}  \cr  &  \Rightarrow AM = {{4{\rm{a}}} \over 5}. \cr} \)

Mặt khác \(A{\rm{D}} = {{4{\rm{a}}} \over 5}\) do đó \(DM = {{4{\rm{a}}\sqrt 2 } \over 5}\).

\(\eqalign{  & D{N^2} = D{M^2} + M{N^2} – 2{\rm{D}}M.MN\cos \widehat {DMN}  \cr  & {{89} \over {100}}{a^2} = {{2.16{a^2}} \over {25}} + {{{a^2}} \over 4} – 2.{{4a\sqrt 2 } \over 5}.{a \over 2}\cos \widehat {DMN}  \cr  &  = {{153{a^2}} \over {100}} – {{4{a^2}\sqrt 2 } \over 5}\cos \widehat {DMN}  \cr  &  \Rightarrow {{4{a^2}\sqrt 2 } \over 5}\cos \widehat {DMN} = {{64{a^2}} \over {100}}  \cr  &  \Rightarrow \cos \widehat {DMN} = {{2\sqrt 2 } \over 5}. \cr} \).

Vậy góc giữa AC và DM là α mà \(\cos \alpha  = {{2\sqrt 2 } \over 5}\) .

c) Dễ thấy G1G2 // DA mà DA ⊥ (ABC) nên \({G_1}{G_2} \bot \left( {ABC} \right)\).



Chia sẻ