Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 4.11 trang 135 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng...

Câu 4.11 trang 135 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng cao: Cho dãy số xác định bởi...

Chia sẻ
Cho dãy số xác định bởi. Câu 4.11 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 2: Dãy có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 10 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng:

a) \({u_n} > 1\) với mọi n

b) \({u_{n + 1}} – 1 < {{{u_n} – 1} \over 2}\) với mọi n

c) Tìm \(\lim {u_n}\)

Giải

a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

b) \({u_{n + 1}} – 1 < \sqrt {{u_n}}  – 1 = {{{u_n} – 1} \over {\sqrt {{u_n}}  + 1}} \le {{{u_n} – 1} \over 2}\) với mọi n vì \(\sqrt {{u_n}}  > 1\)

c) Đặt \({v_n} = {u_n} – 1,\) ta có

                         \(0 < {v_{n + 1}} \le {1 \over 2}{v_n}\) với mọi n

Do đó              \({v_2} \le {1 \over 2}{v_1}\);   \({v_3} \le {1 \over 2}{v_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{v_1}\)

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

                        \(0 < {v_n} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n – 1}}{v_1} = 9{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n – 1}}\)

Vì \(\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n – 1}} = 0\) nên từ đó suy ra \(\lim {v_n} = 0\)

Vậy \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 1\)