Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 10 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} \hfill \cr} \right.\)
Chứng minh rằng:
a) \({u_n} > 1\) với mọi n
b) \({u_{n + 1}} - 1 < {{{u_n} - 1} \over 2}\) với mọi n
c) Tìm \(\lim {u_n}\)
a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Advertisements (Quảng cáo)
b) \({u_{n + 1}} - 1 < \sqrt {{u_n}} - 1 = {{{u_n} - 1} \over {\sqrt {{u_n}} + 1}} \le {{{u_n} - 1} \over 2}\) với mọi n vì \(\sqrt {{u_n}} > 1\)
c) Đặt \({v_n} = {u_n} - 1,\) ta có
\(0 < {v_{n + 1}} \le {1 \over 2}{v_n}\) với mọi n
Do đó \({v_2} \le {1 \over 2}{v_1}\); \({v_3} \le {1 \over 2}{v_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{v_1}\)
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
\(0 < {v_n} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}{v_1} = 9{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}\)
Vì \(\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} = 0\) nên từ đó suy ra \(\lim {v_n} = 0\)
Vậy \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 1\)