Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Chứng minh...

Chia sẻ
Chứng minh. Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 1: Dãy số có giới hạn 0

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 4} \hfill \cr
{u_{n + 1}} = u_n^2 + {{{u_n}} \over 2}\,\,\,\,\,voi\,\,moi\,\,\,n \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng

a) \(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n             b) \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {3 \over 4}\)với mọi n

Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\)

Giải

a) \(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n     (1)

+) Với  n = 1 \({u_1} = {1 \over 4}\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(0<u_k\le {1 \over 4}\)

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

\({u_{k + 1}} = u_k^2 + {{{u_k}} \over 2} = {u_k}.\left( {{u_k} + {1 \over 2}} \right)  \le {1 \over 4}\)

\(\left( {do\,\,0 < {u_k} \le {1 \over 4}} \right)\)

Vậy (1) đã được chứng minh.

b) \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {u_n} + {1 \over 2} \le {1 \over 4} + {1 \over 2} = {3 \over 4}\) với mọi n

Từ đó suy ra

\(\eqalign{
& {u_2} \le {3 \over 4}{u_1} \cr
& {u_3} \le {3 \over 4}{u_2} \le {\left( {{3 \over 4}} \right)^2}{u_1},… \cr
& 0 \le {u_n} < {\left( {{3 \over 4}} \right)^{n – 1}}{u_1} = {1 \over 4}{\left( {{3 \over 4}} \right)^{n – 1}} \cr} \)


Loading...