Câu 4.72 trang 148 SBT Đại số 11 Nâng cao: Tìm giới hạn của các dãy số...

Tìm giới hạn của các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với

a)${u_n} = \sqrt {{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \over {\left( {{n^2} + n} \right)\left( {n + 2} \right)}}}$          b)${u_n} = {{{1^3} + {2^3} + ... + {n^3}} \over {\sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }}$

c) ${u_n} = \root 3 \of {n - 2{n^3}}$                c) ${u_n} = {2^n} - {4.3^{n + 1}}$

d) ${u_n} = 100n - {2.5^n}$             f) ${u_n} = {{{3^n} - {4^{n + 1}}} \over {{2^{2n}} + {{10.3}^n} + 7}}.$

a) ${1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}$

$\lim {u_n} = \lim \sqrt {{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over {6n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}}  = {{\sqrt 3 } \over 3}$

b) ${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over 4};$

$\lim {u_n} = \lim {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {4\sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }} = \lim {{{{\left( {1 + {1 \over n}} \right)}^2}} \over {4\sqrt {{1 \over n} + {3 \over {{n^4}}} + {1 \over {{n^8}}}} }} =  + \infty$

c) $\lim {u_n} = {\mathop{\rm limn}\nolimits} .\root 3 \of {{1 \over {{n^2}}} - 2}  =  - \infty$

d) ${u_n} = {3^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 12} \right]$  với mọi n ;

$\lim u_n =- \infty ;$

e) ${u_n} = {5^n}\left( {{{100n} \over {{5^n}}} - 2} \right)$ với mọi n.

Nếu $q > 1$  thì$\lim {n \over {{q^n}}} = 0.$ Do đó $\lim {n \over {{5^n}}} = 0.$ Vì $\lim {5^n} =  + \infty$  và $\lim \left( {{{100n} \over {{5^n}}} - 2} \right) =  - 2 < 0$ nên

                      $\lim {u_n} =  - \infty ;$

f) Ta có ${2^{2n}} = {4^n}.$  Do đó

                    ${u_n} = {{{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - 4} \over {1 + 10{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} + {7 \over {{4^n}}}}}$ với mọi n.

Do đó   $\lim {u_n} =  - 4.$