Advertisements (Quảng cáo)
Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với
a)\({u_n} = \sqrt {{{{1^2} + {2^2} + … + {n^2}} \over {\left( {{n^2} + n} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \) b)\({u_n} = {{{1^3} + {2^3} + … + {n^3}} \over {\sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }}\)
c) \({u_n} = \root 3 \of {n – 2{n^3}} \) c) \({u_n} = {2^n} – {4.3^{n + 1}}\)
d) \({u_n} = 100n – {2.5^n}\) f) \({u_n} = {{{3^n} – {4^{n + 1}}} \over {{2^{2n}} + {{10.3}^n} + 7}}.\)
a) \({1^2} + {2^2} + … + {n^2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
\(\lim {u_n} = \lim \sqrt {{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over {6n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} = {{\sqrt 3 } \over 3}\)
b) \({1^3} + {2^3} + … + {n^3} = {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over 4};\)
\(\lim {u_n} = \lim {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {4\sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }} = \lim {{{{\left( {1 + {1 \over n}} \right)}^2}} \over {4\sqrt {{1 \over n} + {3 \over {{n^4}}} + {1 \over {{n^8}}}} }} = + \infty \)
c) \(\lim {u_n} = {\mathop{\rm limn}\nolimits} .\root 3 \of {{1 \over {{n^2}}} – 2} = – \infty \)
d) \({u_n} = {3^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} – 12} \right]\) với mọi n ;
\( \lim u_n =- \infty ;\)
e) \({u_n} = {5^n}\left( {{{100n} \over {{5^n}}} – 2} \right)\) với mọi n.
Nếu \(q > 1\) thì\(\lim {n \over {{q^n}}} = 0.\) Do đó \(\lim {n \over {{5^n}}} = 0.\) Vì \(\lim {5^n} = + \infty \) và \(\lim \left( {{{100n} \over {{5^n}}} – 2} \right) = – 2 < 0\) nên
\(\lim {u_n} = – \infty ;\)
f) Ta có \({2^{2n}} = {4^n}.\) Do đó
\({u_n} = {{{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} – 4} \over {1 + 10{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} + {7 \over {{4^n}}}}}\) với mọi n.
Do đó \(\lim {u_n} = – 4.\)