Câu 4.74 trang 148 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho dãy số xác định bởi...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi

$\left\{ \matrix{ {u_1} = a \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Trong đó $- 1 < a < 0.$

a) Chứng minh rằng $- 1 < {u_n} < 0.$ với mọi n và $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số giảm.

b) Chứng minh rằng

                        $- 1 < {u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)$ với mọi n.

c) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n}.$

a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo giả thiết, điều khẳng định đúng với $n = 1.$  Giả sử điều khẳng định đúng với n , tức là

                                                $- 1 < {u_n} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Ta chứng minh nó đúng với $n + 1.$  Thật vậy, từ (2) suy ra

                         $0 < {u_{n + 1}} + 1 < 1\,;\,$

Do đó

                        $0 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} < 1$

Và

                        $- 1 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 < 0,$

Tức là

                      $- 1 < {u_{n + 1}} < 0.\,$

Vì $- 1 < {u_n} < 0$ nên ${u_{n }} +1> 0$ và $u_n^2 > 0$  với mọi n . Do đó từ (1) suy ra ${u_{n + 1}} < \left( {{u_n} + 1} \right) - 1 = {u_n}$ với mọi n.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số giảm.

b) Từ đẳng thức (1) suy ra

                 ${u_{n + 1}} + 1 = {1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)$ với mọi n.

Từ đó suy ra

                 $\left| {{u_n}} \right| \ge \left| a \right| \Leftrightarrow u_n^2 \ge {a^2};$

Do đó

                 ${1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}$ với mọi n

Và từ (3), ta có

                 ${u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)$ với mọi n.

Đặt ${v_n} = {u_n} + 1$  và $q = {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }},$ ta có $0 < q < 1,{v_n} > 0$  và

                                    ${v_{n + 1}} \le q{v_n}$ với mọi n.

Từ đó ta có

$\eqalign{ & {v_2} \le {v_1}q = \left( {a + 1} \right)q, \cr & {v_3} \le {v_2}q = \left( {a + 1} \right){q^2},... \cr & 0 \le {v_n} \le \left( {a + 1} \right){q^{n - 1}} \cr}$

Với mọi n . Vì $\lim \left( {a + 1} \right).{q^{n - 1}} = \left( {a + 1} \right)\lim {q^{n - 1}} = 0$  nên từ đó suy ra

                        $\lim {v_n} = 0$  và $\lim {u_n} =  - 1.$