Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) kẻ từ A. Với điểm M bất kì thuộc ∆, M ≢ A, gọi K là trực tâm của tam giác MBC và ∆1 là đường thẳng đi qua K và vuông góc với mặt phẳng (MBC). Chứng minh rằng:
a) ∆1 đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên ∆.
b) ∆1 cắt ∆ tại điểm N và BM vuông góc với CN, CM vuông góc với BN. Xác định vị trí điểm M để độ dài MN đạt giá trị bé nhất.
a) Gọi I là trung điểm của BC thì AI \bot BC,MI \bot BC. Vậy K thuộc MI. Ta cũng có BC \bot \left( {MAI} \right). Do ∆1 đi qua K và {\Delta _1} \bot \left( {MBC} \right) nên {\Delta _1} \bot BC. Vậy ∆1 nằm trong mp(MAI). Gọi giao điểm của ∆1 với AI là H thì HK \bot MC, mặt khác BK \bot MC, từ đó MC vuông góc với (BHK) hay MC \bot BH.
Từ \Delta \bot \left( {ABC} \right),\,BH \bot MC nên BH \bot AC.
Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. Điều này chứng tỏ khi M thay đổi trên \Delta thì \Delta_1 đi qua điểm cố định là trực tâm H của tam giác ABC.
b) Vì ∆1 là đường thăngt HK nên ∆1 cắt ∆ tại điểm N.
Advertisements (Quảng cáo)
Theo câu a), ta có MC vuông góc với (BHK) mà BN thuộc mặt phẳng này, vậy NB vuông góc với MC.
Tương tự như trên, ta cũng có MB \bot NC
Từ ∆AHN đồng dạng ∆AMI, ta có {{AH} \over {AM}} = {{AN} \over {AI}} \Rightarrow AH.AI = AM.AN
Mặt khác AH.AI = {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}} \over 2} .
do đó AM.AN = {{{a^2}} \over 2}
Ta có: MN = AM + AN
Vậy MN ngắn nhất khi và chỉ khi AM = AN = {{a\sqrt 2 } \over 2}.
Hệ thức này xác định điểm M để MN có độ dài ngắn nhất.