Câu 41 trang 122 SBT Toán hình 11 nâng cao: Vậy hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60° khi và chỉ khi...

Cho tứ diện SABC, hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và có SA vuông góc với mp(ABC), $SB = a\sqrt 2 ,\widehat {B{\rm{S}}C} = {45^0},\widehat {ASB} = \alpha$.

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với SB. Tìm điểm cách đều các điểm S, A, B, C.

b) Xác định α để hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60°.

a) Vì

$\eqalign{  & \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)  \cr  & \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right) \cr}$

mà $BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Như vậy, tứ diện SABC có $\widehat {SAC} = {90^0}$ và $\widehat {SBC} = {90^0}$ nên điểm cách đều S, A, B, C là trung điểm của SC.

Chú ý. Có thể chứng minh $BC \bot SB$ như sau:

Kẻ $A{B_1} \bot SB$ do $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)$ nên $A{B_1} \bot \left( {SBC} \right)$

$\Rightarrow A{B_1} \bot BC$

mặt khác $BC \bot SA$

$\eqalign{  &  \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)  \cr  &  \Rightarrow BC \bot SB \cr}$

b) Kẻ $A{B_1} \bot SB,A{C_1} \bot SC$, dễ chứng minh được

$A{B_1} \bot \left( {SBC} \right)$ và $\left( {A{B_1}{C_1}} \right) \bot SC$.

Từ đó $\widehat {A{C_1}{B_1}}$ là góc giữa hai mặt phẳng (SCA) và (SCB).

Xét ∆AB₁C₁ ta có $A{B_1} = {B_1}{C_1}\tan {60^0}$

mà $A{B_1} = S{B_1}\tan \alpha ,{B_1}{C_1} = S{B_1}\sin {45^0}$.

Vậy hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60° khi và chỉ khi

$S{B_1}\tan \alpha  = S{B_1}.{{\sqrt 2 } \over 2}.\sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \alpha  = {{\sqrt 6 } \over 2}$.

Hệ thức này xác định α.