Câu 5.1 trang 178 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Cho hàm số, chứng minh rằng...

Cho hàm số

$y = \root 3 \of x$

Chứng minh rằng: $y’\left( x \right) = {1 \over {3\root 3 \of {{x^2}} }}\,\,\left( {x \ne 0} \right)$

Với mỗi $a \ne 0,$ ta tính đạo hàm của hàm số $y = \root 3 \of x$ tại điểm theo định nghĩa

- Tính $\Delta y$

$\Delta y = \root 3 \of {x + \Delta x} - \root 3 \of x$
$= {{\left( {\root 3 \of {x + \Delta x}  - \root 3 \of x } \right)\left( {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}}  + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)}  + \root 3 \of {{x^2}} } \right)} \over {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}}  + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)}  + \root 3 \of {{x^2}} }}$

$= {{\Delta x} \over {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)} + \root 3 \of {{x^2}} }}$

- Tìm giới hạn

 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {1 \over {\root 3 \of {\left( {x + \Delta x} \right)^2}  + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right) + \root 3 \of {{x^2}} } }} = {1 \over {3\root 3 \of {{x^2}} }}$

$= y’\left( x \right)$