Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.6 trang 179 Toán Đại số 11 (SBT Nâng cao): Xét...

Câu 5.6 trang 179 Toán Đại số 11 (SBT Nâng cao): Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm...

Chia sẻ
Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R. Câu 5.6 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 1: Khái niệm đạo hàm

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} – x + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2 \hfill \cr{1 \over {x – 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2 \hfill \cr}  \right.\)                             

b) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr{2 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr}  \right.\)

c) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0 \hfill \cr- {x^3} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

Giải

a) – Với \(x < 2\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} – x + 2\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là \(f’\left( x \right) = 2x – 1\)

     – Với \(x > 2\) thì \(f\left( x \right) = {1 \over {x – 1}}\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là

                                    \(f’\left( x \right) =- {1 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)

     – Với \(x = 2\) thì ta có

                        \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {{x^2} – x + 2} \right) = 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {1 \over {x – 1}} = 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\), suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\), tức là hàm số không liên tục tại điểm \(x = 2\), nên nó cũng không có đạo hàm tại điểm này.

b) Tương tự như bài a), dễ dàng chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 1\)  và

\(f’\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x + 1\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr- {2 \over {{x^2}}}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \hfill \cr}  \right.\)

Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm tại điểm \(x = 1\). Vì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 2 = f\left( 1 \right)\)

Nên hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 1\)

Mặt khác ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)} \over {x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{\left( {{x^2} + x} \right) – 2} \over {x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {x + 2} \right) = 3\)

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)} \over {x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{2 \over x} – 2} \over {x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { – {2 \over x}} \right) =  – 2\)

Do đó

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)} \over {x – 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)} \over {x – 1}}\)

Suy ra hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm \(x = 1\)

c) Chứng minh tương tự như ý trên, ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 0\) và

\(f’\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr- 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

Xét tính liên tục và sự tồn tại điểm \(x = 0\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(1)\)

Suy ra hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0

Mặt khác ta có:

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{\left( {{x^2} + 1} \right) – 1} \over {x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} x = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left( { – {x^3} + 1} \right) – 1} \over {x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { – {x^2}} \right) = 0\)

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}} = 0\) nên suy ra

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over {x – 0}} = 0\)

Hay \(f’\left( 0 \right) = 0\)

Vậy với mọi \(x \in R\), hàm số đã cho có đạo hàm và

\(f’\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr – 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

Chú ý. Có thể không cần chứng minh hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 0\) (theo định nghĩa) như đã làm, mà lí luận như sau (khi đã chứng minh được \(f’\left( 0 \right) = 0\): “vì hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nên nó liên tục tại điểm đó”.