Câu 5.13 trang 180 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho hàm số. Tìm m để...

Cho hàm số

                        $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + mx - 3$

Tìm m để

a) $f’\left( x \right)$  bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất;

b) $f’\left( x \right) \ge 0$ với mọi x;

c) $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {0;2} \right)$  

d) $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x > 0$

Với mọi $x \in R,$ ta có

                        $f’\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + m$

a) Để $f'(x)$ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ta phải tìm m sao cho $f'(x)$ phải là tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ với hệ số $a > 0$ và có nghiệm kép, tức là

$\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ‘ = 4 - 3m = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m = {4 \over 3}$

b) Để $f’\left( x \right) \ge 0$ với mọi x thì ta phải tìm m sao cho

$\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ‘ = 4 - 3m \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m \ge {4 \over 3}$

c) (h.5.4) Để $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {0;2} \right)$ thì ta phải tìm m sao cho số 0 và số 2 thuộc đoạn $\left[ {{x_1};{x_2}} \right]$ (${x_1}$ và ${x_2}$ là hai nghiệm của của $f'(x)$) tức là

$\eqalign{& \left\{ \matrix{af’\left( 0 \right) \le 0 \hfill \cr af’\left( 2 \right) \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{3.m \le 0 \hfill \cr3\left( {4 + m} \right) \le 0 \hfill \cr}  \right.  \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m \le  - 4. \cr}$

d) Để $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x > 0$ thì ta phải xét hai trường hợp sau đây

$\bullet$ Trường hợp thứ nhất (h.5.5a)

Ta phải tìm $m$  sao cho tam thức bậc hai $f’\left( x \right)$ vô nghiệm và có $a > 0,$ tức là

$\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ‘ = 4 - 3m < 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m > {4 \over 3}.$

$\bullet$ Trường hợp thứ hai (h.5.5b)

Ta phải tìm $m$ sao cho tam thức bậc hai $f’\left( x \right)$ có $a > 0$ đồng thời có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thỏa mãn các điều kiện ${x_1} \le {x_2} \le 0$, tức là

$\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ‘ = 4 - 3m \ge 0 \hfill \cr af’\left( 0 \right) = 3m \ge 0 \hfill \cr{S \over 2} - 0 = {2 \over 3} \le 0\,\,\,\,\,\,\left( \text{ loại } \right) \hfill \cr}  \right.$

Hệ vô nghiệm.

Chú ý. Về nguyên tắc phải xét hai trường hợp, dù trong bài này trường hợp thứ hai vô nghiệm.