Câu 5.14 trang 181 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Cho hàm số. Tìm m để...

Cho hàm số

            $f\left( x \right) = {{m{x^3}} \over 3} - {{m{x^2}} \over 2} + \left( {3 - m} \right)x - 2$

Tìm m để

a) $f’\left( x \right)$  với mọi x;

b) $f’\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu;

c) Chứng minh rằng trong trường hợp  có hai nghiệm(hai nghiệm có thể trùng nhau) thì các nghiệm thỏa mãn một hệ thức độc lập với m.

Với mọi $x \in R,$ ta có

              $f’\left( x \right) = m{x^2} - mx + 3 - m.$

a) Ta phải xét hai trường hợp sau đây

1. Với $m = 0$ thì $f’\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).$ Vậy $m = 0$ là một giá trị cần tìm.

2. Với $m \ne 0$ (khi đó $f'(x)$ là một tam thức bậc hai) thì ta phải tìm $m$ sao cho

$\left\{ \matrix{m > 0 \hfill \cr\Delta  = {m^2} - 4\left( {3 - m} \right) = m\left( {5m - 12} \right) < 0 \hfill \cr}  \right.$

$\Leftrightarrow 0 < m < {{12} \over 5}$

Vậy các giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiên của bài toán là $0 \le m < {{12} \over 5}.$

Chú ý. Không được phép hai trường hợp 1 và 2 (vì trong trường hợp 1, $f\left( x \right)$ không phải là một tam thức bậc hai nên không áp đụngk được định lí về dấu của tam thức bậc hai).

b) Để $f'(x)$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì phải tìm $m$ sao cho tam thức bậc haicó hai nghiệm phân biệt và tích của chúng là $P = {c \over a} > 0$ (hay số 0 nằm ngoài hai nghiệm) tức là

$\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta  = m\left( {5m - 12} \right) > 0 \hfill \cr{{3 - m} \over m} > 0\,\,\,\left( {hay\,\,m\left( {3 - m} \right) > 0} \right) \hfill \cr}  \right.$

$\Leftrightarrow {{12} \over 5} < m < 3.$

c) Vì có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) nên ta có

$\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta  \ge 0 \hfill \cr{x_1} + {x_2} = {m \over m} = 1 \hfill \cr{x_1}{x_2} = {{3 - m} \over m} \hfill \cr}  \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 0\text{ hoặc }m \ge {2 \over 5} \hfill \cr{x_1} + {x_2} = 1. \hfill \cr}  \right.$

Vậy hệ thức phải tìm là ${x_1} + {x_2} = 1.$