Câu 5.24 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Chứng minh...

Chứng minh rằng hàm số sau đây có đạo hàm bằng 0 với mọi $x \in R$

$y = {\cos ^2}\left( {{\pi  \over 3} - x} \right) + {\cos ^2}\left( {{\pi  \over 3} + x} \right)$

$+ {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} - x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) - 2{\sin ^2}x$

Cách 1: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp

                        $\left( {{{\cos }^2}u} \right)’ = 2\cos u\left( { - \sin u} \right).u’ =  - u’.\sin 2u$

Ta được

$\eqalign{& y’ = \left[ {\sin \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right) - \sin \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right]\cr& + \left[ {\sin \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right) - \sin \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right] - 2\sin 2x  \cr& \,\,\,\,\,\, = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\sin \left( { - 2x} \right) + 2\cos {{4\pi } \over 3}.\sin \left( { - 2x} \right) \cr&- 2\sin 2x\,\,\left( {\forall x \in R} \right) \cr}$

Vì $\cos {{2\pi } \over 3} = \cos {{4\pi } \over 2} =  - {1 \over 2}$ nên

                        $y’ = \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0$

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc

                        ${\cos ^2}u = {{1 + \cos 2u} \over 2}$

Ta chứng minh được $y = 1$. Vậy $y’ = 0$