Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.24 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 5.24 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Chứng minh...

Chia sẻ
Chứng minh. Câu 5.24 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Chứng minh rằng hàm số sau đây có đạo hàm bằng 0 với mọi \(x \in R\)

\(y = {\cos ^2}\left( {{\pi  \over 3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {{\pi  \over 3} + x} \right) \)

\(+ {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) – 2{\sin ^2}x\)

Giải

Cách 1: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp

                        \(\left( {{{\cos }^2}u} \right)’ = 2\cos u\left( { – \sin u} \right).u’ =  – u’.\sin 2u\)

Ta được

\(\eqalign{& y’ = \left[ {\sin \left( {{{2\pi } \over 3} – 2x} \right) – \sin \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right]\cr& + \left[ {\sin \left( {{{4\pi } \over 3} – 2x} \right) – \sin \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right] – 2\sin 2x  \cr& \,\,\,\,\,\, = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\sin \left( { – 2x} \right) + 2\cos {{4\pi } \over 3}.\sin \left( { – 2x} \right) \cr&- 2\sin 2x\,\,\left( {\forall x \in R} \right) \cr} \)

Vì \(\cos {{2\pi } \over 3} = \cos {{4\pi } \over 2} =  – {1 \over 2}\) nên

                        \(y’ = \sin 2x + \sin 2x – 2\sin 2x = 0\)

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc

                        \({\cos ^2}u = {{1 + \cos 2u} \over 2}\)

Ta chứng minh được \(y = 1\). Vậy \(y’ = 0\)


Loading...