Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.46 trang 186 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho...

Câu 5.46 trang 186 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị...

Chia sẻ
Cho hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hai hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.. Câu 5.46 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Ôn tập chương V – Đạo hàm

Cho hàm số

              \(y = f\left( x \right) = {1 \over {x\sqrt 2 }}\) và \(y = g\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hai hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Giải

Hoành độ giao điểm hai đồ thị của haio hàm số đã cho là

               \({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x^3} = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Tung độ giao điểm tương ứng là \(y = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Ta có

\( \bullet \)       \(f’\left( x \right) = {{ – 1} \over {\sqrt 2 .{x^2}}},\) suy ra \(f’\left( 1 \right) =  – {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại giao điểm là

\(y =  – {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {x – 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,hay\,\,y =  – {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {x – 2} \right)\)

\( \bullet \) \(g’\left( x \right) = x\sqrt 2 ,\,\,suy\,ra\,\,g’\left( 1 \right) =  \sqrt 2 \)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại giao điểm là

\(y = \sqrt 2 \left( {x – 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,hay\,\,y = \sqrt 2 x – {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Mặt khác   \(f’\left( 1 \right).g’\left( 1 \right) =  – {1 \over {\sqrt 2 }}.\sqrt 2  =  – 1\)

Nên hai tiếp tuyến của đò thị hàm số đã cho vuông góc với nhau, suy ra góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng \({90^0}\).