Câu 56 trang 125 SBT Hình 11 nâng cao: Bài 5: Khoảng cách...

Cho tứ diện ABCD có $BC = B{\rm{D}} = AC = A{\rm{D}};AB = a,C{\rm{D}} = a\sqrt 3$. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, IJ = a.

a) Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.

a) 

$\eqalign{ & \Delta BCD = \Delta ACD(c.c.c) \cr & \Rightarrow BJ =AJ \cr}$

Do đó $\Delta ABJ$ cân tại J, suy ra $IJ \bot AB$

Chứng minh tương tự: $IJ \bot CD$

Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $I{A^2} + O{I^2} = O{J^2} + J{D^2}$, đặt $I{\rm{O}} = x$ ta có đẳng thức

$\eqalign{  & {{{a^2}} \over 4} + {x^2} = {\left( {a - x} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {3 \over 4}a \cr}$

Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng

$\sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{9{{\rm{a}}^2}} \over {16}}}  = {{a\sqrt {13} } \over 4}$.