Câu 57 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao: Bài 5: Khoảng cách...

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở C, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $AC = a,BC = b,SA = h$. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và SB.

a) Tính độ dài MN.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để MN là đường vuông góc chung của AC và SB.

a) Gọi H là trung điểm của AB thì NH // SA.

Do $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $NH \bot \left( {ABC} \right)$, từ đó $\widehat {NHM} = {90^0}$. Vậy

$\eqalign{  & M{N^2} = N{H^2} + H{M^2}  \cr  &  = {{S{A^2}} \over 4} + {{B{C^2}} \over 4} = {1 \over 4}\left( {{h^2} + {b^2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow MN = {1 \over 2}\sqrt {{h^2} + {b^2}}  \cr}$

b) h = b