Cho phéo vị tự V tâm O, tỉ số k ≠ 1 và phép tịnh tiến T theo vectơ \(\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0 \) . Gọi F là phép hợp thành của V và T.
a) Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó.
b) Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k
a) Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ và T biến M’ thành M” thì F biến M thành M”. Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I’ và T biến I’ thành I, khi đó \(\overrightarrow {OI’} = k\overrightarrow {OI} \) và \(\overrightarrow {I’I} = \overrightarrow v .\)
Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OI} - \overrightarrow {OI’} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} - k\overrightarrow {OI} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = {{\overrightarrow v } \over {1 - k}}\)
Vậy điểm I hoàn toàn xác định.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ thì \(\overrightarrow {OM’} = k\overrightarrow {OM} \) , nếu T biến M’ thành M” thì \(\overrightarrow {M’M”} = \overrightarrow v \) . Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OM’} = k\overrightarrow {OM} \)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {IM’} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} = k\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {IM’} + \overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = k\overrightarrow {IM} \cr} \) (*)
Nhưng từ biểu thức xác định I ta có \(\overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = \overrightarrow v \).
Ngoài ra, vì \(\overrightarrow {M’M”} = \overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow {IM”} - \overrightarrow {IM’} = \overrightarrow v \) hay \(\overrightarrow {IM’} = \overrightarrow {IM”} - \overrightarrow v \).
Vậy đẳng thức (*) trở thành \(\overrightarrow {IM”} = k\overrightarrow {IM} \).
Do đó, phép F biến M thành M” chính là phép vị tự tâm I tỉ số k.