Advertisements (Quảng cáo)
Cho Đ là phép đối xứng trục có trục đói xứng là đường thẳng d và T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) song song với d. Hợp thành Đ và T gọi là phép đối xứng trượt. Phép đối xứng trục là một trường hợp đặc biệt của phép đối xứng trượt khi vectơ trượt là vectơ không.
a) Chứng minh rằng hợp thành của T và Đ cũng bằng hợp thành của Đ và T.
b) Chứng minh rằng nếu M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trượt thì trung điểm đoạn thẳng MM’ luôn nằm trên trục của phép đối xứng trượt đó.
c) Hợp thành của hai phép đối xứng trượt có trục song song là phép gì?
d) Chứng minh rằng hợp thành của một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến là một phép đối xứng trượt.
e) Chứng minh rằng hợp thành của một phép quay và một phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.
g) Chứng minh rằng hợp thành của ba phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.
a) Giả sử M là một điêmt nào đó, Đ biến M thành M1 và T biến M1 thành M’. Như vậy, nếu gọi F là hợp thành của T và Đ thì F biến M thành M’. Nếu ta lấy điểm M2 sao cho MM1M’M2 là hình chữ nhật thì rõ ràng T biến M thành M2 và Đ biến M2 thành M’. Vậy F cũng là hợp thành của T và Đ.
b) Hiển nhiên
c)
Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử phép đối xứng trượt F có trục d và vectơ trượt \(\overrightarrow v \) , phép đối xứng trượt F’ có trục đối xứng d’ và véc tơ trượt \(\overrightarrow v ‘\) . Kí hiệu Đ, Đ’ lần lượt là phép đối xứng có trục d và d’, T và T’ lần lượt là các phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow {v’} \) . Như vậy F là hợp thành của T và Đ, F’ là hợp thành của Đ’ và T’. Suy ra hợp thành của F và F’ là hợp thành của bốn phép: T, Đ, Đ’ và T’.
Vì d // d’ nên hợp thành của Đ và Đ’ là một phép tịnh tiến. Vậy hợp thành F và F’ là hợp thành của ba phép tịnh tiến và do đó là môt phép tịnh tiến.
d)
Gọi Đ là phép đối xứng trục, với trục là đường thẳng d, T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) , còn F là hợp thành của Đ và T. Ta có thể tìm được hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) sao cho \(\overrightarrow {{v_1}} \) song song với d, \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d và \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} \) . Nếu ta gọi T1 và T2 lần lượt là các phép tịnh tiến theo các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) thì T là hợp thành của T2 và T1. Nhưng vì \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d nên T2 có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục D1 và D2 có trục song song với d. Tóm lại, F là hợp thành của bốn phép Đ, Đ1, Đ2 và T1. Như đã biết, hợp thành của 3 phép đối xứng trục Đ, Đ1, Đ2 (có trục song song) là phép đối xứng của trục Đ3 có trục song song với d. Vậy F là hợp thành của Đ3 và T1 với vectơ tịnh tiến của T1 song song với trục đối xứng Đ3, nên F là phép đối xứng trượt.
e)
Giả sử Q là phép quay tâm O và Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là hợp thành của Q và Đ. Ta có thể xem phép quay Q là hợp thành của hai phép đối xứng Đ1 và Đ2 có các trục đối xứng đi qua O, trong đó trục của Đ2 song song với d. Như vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: Đ1, Đ2 và Đ.
Nhưng hợp thành của Đ2 và Đ (có trục đối xứng song song) là phép tịnh tiến do đó F là hợp thành của một phép đối xứng và một phép tịnh tiến nên theo câu d), F là phép đối xứng trượt.
g) Suy từ câu d và câu e).