Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 77 trang 129 Sách BT hình 11 nâng cao: Cho hình...

Câu 77 trang 129 Sách BT hình 11 nâng cao: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA = SB = SC = a và cùng tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60°....

Chia sẻ
Câu 77 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Trả lời. Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA = SB = SC = a và cùng tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60°. Một mặt phẳng song song với hai cạnh chéo nhau của hình chóp và cắt hình chóp đó theo thiết diện là hình vuông. Tính diện tích thiết diện.

 

Giả sử H là tâm của tam giác đều.

Từ SA = SB = SC nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {SAH} = {60^0}\).

Giả sử mặt phẳng song song với SA, CD và thiết diện thu được là hình vuông MNPQ.

Khi đó, nếu kí hiệu cạnh hình vuông là x thì:

\(\eqalign{  & {x \over {SA}} = {{CQ} \over {C{\rm{S}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \cr  & {x \over {BC}} = {{SQ} \over {SC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Quảng cáo

Từ (1), (2) suy ra:

\(\eqalign{  & x\left( {{1 \over {SA}} + {1 \over {BC}}} \right) = {{CQ + Q{\rm{S}}} \over {C{\rm{S}}}} = 1  \cr  &  \Rightarrow x= {{SA.BC} \over {SA + BC}} = {{a.BC} \over {a + BC}} \cr} \)

Mặt khác \(HA = SA\cos {60^0} = {a \over 2}\).

mà \(HA = {{BC\sqrt 3 } \over 3}\).

Suy ra \(BC = {{a\sqrt 3 } \over 2}\).

Từ đó \(x = {{a.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over {a + {{a\sqrt 3 } \over 2}}} = {{a\sqrt 3 } \over {2 + \sqrt 3 }} = a\sqrt 3 \left( {2 – \sqrt 3 } \right)\).

Vậy \({S_{MNPQ}} = {\left[ {a\sqrt 3 \left( {2 – \sqrt 3 } \right)} \right]^2} = 3{{\rm{a}}^2}{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^2}\).



Chia sẻ