Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 78 trang 129 SBT Hình 11 nâng cao: Cho tam giác...

Câu 78 trang 129 SBT Hình 11 nâng cao: Cho tam giác đề ABC có chiều cao AH = 5a..Chứng minh AS và CS vuông góc với nhau...

Chia sẻ
Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Cho tam giác đề ABC có chiều cao AH = 5a. Điểm O thuộc đoạn thẳng AH sao cho AO = a. Điểm S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O và SO = 2a.

a) Chứng minh AS và CS vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

b) Gọi I là trung điểm của OH; (α) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc với AH. Thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi (α) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

a) Dễ thấy

\(\eqalign{  & BC = {{10{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}  \cr  & S{A^2} = S{O^2} + A{O^2}  \cr  &  = 4{{\rm{a}}^2} + {a^2} = 5{{\rm{a}}^2}  \cr  & S{C^2} = S{O^2} + A{O^2}  \cr  &  = 4{{\rm{a}}^2} + 16{{\rm{a}}^2} + {{25{{\rm{a}}^2}} \over 3}  \cr  &  = {{85{a^2}} \over 3}  \cr  & A{C^2} = {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr} \)

Ta có \(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\)

Vậy \(SA \bot SC\).

+ Kẻ AD song song và bằng BC (hai tia AD, BC cùng chiều) thì góc giữa AB và SC chính là góc giữa CD và SC, đó là \(\widehat {SC{\rm{D}}}\) hoặc \({180^0} – \widehat {SC{\rm{D}}}\).

Dễ thấy \(SA \bot BC\), do AD // BC nên \(SA \bot A{\rm{D}}\), tức là tam giác SAD vuông.

Do đó \(S{{\rm{D}}^2} = S{A^2} + A{{\rm{D}}^2} = 5{{\rm{a}}^2} + {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} = {{115{{\rm{a}}^2}} \over 3}\),

mặt khác \(S{{\rm{D}}^2} = S{C^2} + D{C^2} – 2{\rm{S}}C.DC\cos \widehat {SCD}\)

Quảng cáo

nên ta có

\(\eqalign{& {{115{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr & = {{85{{\rm{a}}^2}} \over 3} + {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} – 2.{{a\sqrt {85} } \over {\sqrt 3 }}.{{10{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}\cos \widehat {SCD} \cr & \Rightarrow \cos \widehat {SCD} = {7 \over {2\sqrt {85} }} \cr} \)

Vậy góc giữa AB và SC là α mà

\(\cos \alpha  = {7 \over {2\sqrt {85} }}\).

Do \(\left( \alpha  \right) \bot AH,SO \bot AH\) và \(BC \bot AH\) nên SO và BC cùng song song với (α). Khi đó \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\), MN qua I và MN // BC

\(\eqalign{  & \left( \alpha  \right) \cap \left( {SOH} \right) = IJ,IJ//SO  \cr  & \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ \cr} \)

PQ qua J và PQ // BC.

Dễ thấy MNPQ là hình thang cân với chiều cao JI.

Ta có :

\(\eqalign{  & {\rm{IJ}} = {1 \over 2}SO = a  \cr  & PQ = {1 \over 2}BC = {{5{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}  \cr  & {{MN} \over {BC}} = {{3{\rm{a}}} \over {5{\rm{a}}}} \Rightarrow MN = {{10{\rm{a}}.3} \over {\sqrt 3 .5}} = 2{\rm{a}}\sqrt 3 . \cr} \)

Suy ra

\(\eqalign{  & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}\left( {MN + PQ} \right).{\rm{IJ}}  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {2{\rm{a}}\sqrt 3  + {{5{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}} \right).a = {{11{{\rm{a}}^2}} \over {2\sqrt 3 }} \cr} \)



Chia sẻ