Cho dãy số (un) với
a) Viết công thức truy hồi của dãy số ;
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới ;
c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.
a) Ta có \({u_1} = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} – 4\left( {n + 1} \right) + 3 – {n^2} + 4n – 3 = 2n – 3\)
Vậy công thức truy hồi là
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 0. \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n – 3{\rm\,\,{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \({u_n} = {n^2} – 4n + 3 = {\left( {n – 2} \right)^2} – 1 \ge – 1\). Vậy dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
c)
\(\eqalign{
& {S_n} = 1 + {2^2} + {3^2} + … + {n^2} – 4\left( {1 + 2 + … + n} \right) + 3n \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6} – 4.{{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + 3n \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) – 12n\left( {n + 1} \right) + 18n} \over 6} \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n – 11} \right) + 18n} \over 6} \cr} \)