Bài 2.6 trang 112 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Các dãy số (un), (vn) được xác định bằng công thức...

Các dãy số (u_n), (v_n)được xác định bằng công thức 

a) $\left\{ \matrix{ {u_1} = 1 \hfill \cr  {u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3}{\rm{ voi }}n \ge 1; \hfill \cr} \right.$    

b) $\left\{ \matrix{ {v_1} = 2 \hfill \cr  {v_{n + 1}} = v_n^2{\rm{ }}voi{\rm{ }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.$    

Tìm công thức tính (u_n), (v_n) theo n. Tính số hạng thứ 100 của dãy số (u_n). Hỏi số 4294967296 là số hạng thứ mấy của dãy số (v_n)

Giải:

a)      Từ ${u_{n + 1}} - {u_n} = {n^3}$ ta có

$\eqalign{ & {u_1} = 1; \cr & {u_2} - {u_1} = {1^3}; \cr & {u_3} - {u_2} = {2^3}; \cr & ... \cr & {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} = {\left( {n - 2} \right)^3}; \cr & {u_n} - {u_{n - 1}} = {\left( {n - 1} \right)^3}. \cr}$ 

Cộng từng vế n đẳng thức trên và rút gọn, ta được

${u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + ... + {\left( {n - 1} \right)^3}$                    

Sử dụng kết quả bài tập 12 b) - ta có

${1^3} + {2^3} + ... + {\left( {n - 1} \right)^3} = {{{{\left( {n - 1} \right)}^2}{n^2}} \over 4}$           

Vậy

$\eqalign{ & {u_n} = 1 + {{{n^2}{{\left( {n - 1} \right)}^2}} \over 4}. \cr & {u_{100}} = 24502501. \cr}$

b)      Hãy viết một vài số hạng đầu của dãy và quan sát

$\eqalign{ & {v_1} = 2; \cr & {v_2} = v_1^2 = {2^2}; \cr & {v_3} = v_2^2 = {2^4} = {2^{{2^2}}}; \cr & {v_4} = v_3^2 = {2^8} = {2^{{2^3}}} \cr}$

Từ đây dự đoán ${v_n} = {2^{{2^{n - 1}}}}$

Công thức trên dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Số 4294967296 là số hạng thứ sáu của dãy số (v_n)