Bài 2.7 trang 112 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Gọi B là điểm nằm ngoài trục số.Người ta dựng các tam giác...

Dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A :

$$A = \left\{ {{A_0},{A_1},{A_2}..{A_n}} \right\}$$

Gọi B là điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A.

Đặt u_n là số các tam giác được tạo thành từ B và hai trong số n + 1 điểm ${A_0},{A_1},{A_2}..{A_n}$ rồi lập dãy số u_n

a)      Tính ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4}$ ;

b)      Chứng minh rằng ${u_n} = C_{n + 1}^2$ và \9{u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1\)

a)  

$\eqalign{ & {u_1} = 1 \cr & {u_2} = 3 \cr & {u_3} = 6 \cr & {u_4} = 10 \cr}$   

b)      Số các tam giác u_n tạo thành từ B và n + 1 điểm chính là số tổ hợp chập 2 của n + 1 phần tử:

Áp dụng công thức $C_n^k = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k - 1}$

Ta có $C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^2 + C_{n + 1}^1$

Hay ${u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1$