Bài 2 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11: Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈...

Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N*

a) ${A_n} = {1 \over {1.2.3}} + {1 \over {2.3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = {{n\left( {n + 3} \right)} \over {4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$ ;

b) ${B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 6}$ ;

c) ${S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = {{\sin {{nx} \over 2}.\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}$  

Giải:

a)      HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn

${A_{k + 1}} = {A_k} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$

b)      HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã cho ${B_k} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}$

Ta cần chứng minh

${B_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 2}$ bằng cách tính ${B_{k + 1}} = {B_k} + {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}$

c)      HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã có ${S_k} = {{\sin {{kx} \over 2}.\sin {{\left( {k + 1} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}$

Viết ${S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x$ sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có

${S_{k + 1}} = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}.\sin {{\left( {k + 2} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\left( {đpcm} \right)$