Chứng minh các bất đẳng thức sau. Bài 3 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 - Ôn tập Chương III - Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) \({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\) ;
b) \({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8\)
Giải:
a) Với n = 4 thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24\)
Giả sử đã có
\({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4\) (1)
Nhân hai vế của (1) với 3, ta có
\(\eqalign{
& {3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right) \cr
& {\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right] + 2{k^2} + 2k - 3 \cr} \)
Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1
b) Giải tương tự câu a).