Bài 3 trang 127 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Chứng minh các bất đẳng thức sau...

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) ${3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)$ với $n \ge 4$ ;

b) ${2^{n - 3}} > 3n - 1$ với $n \ge 8$

Giải:

a) Với n = 4 thì ${3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24$

Giả sử đã có

${3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)$ với $k \ge 4$    (1)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

$\eqalign{ & {3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right) \cr & {\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right] + 2{k^2} + 2k - 3 \cr}$                      

Do $2{k^2} + 2k - 3 > 0$ nên ${3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]$ chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1

b)      Giải tương tự câu a).